CME拡張ツリー手法 | 中央銀行ウォッチ

拡張ツリー手法とは何か？

CME FedWatchツールは、「拡張ツリー」構造を使用して連邦準備制度（Fed）の金利決定の確率を計算します。この手法が「拡張」と呼ばれるのは、FOMCの会合ごとに成長する分岐構造を構築し、あらゆる可能な金利変更のシーケンスをマッピングするためです。

なぜ「拡張ツリー」なのか？

各FOMC会合では2つの主な結果が生じます。Fedが25ベーシスポイント（上昇または低下）金利を変更するか、金利が据え置かれるかです。1回の会合後には2つの可能な金利水準があります。2回の会合後には3つの可能な金利水準があります（ただし、そこに至る経路は4つあります）。3回の会合後には4つの可能な金利水準があり、8つの異なる経路から到達できます。

各会合で経路数が2倍になるというこの組み合わせ的成長が「ツリー」構造を生み出します。CME手法は、フェデラルファンド先物価格に基づいて各分岐に確率を割り当て、すべての可能な経路を先に向かってたどり、複数の会合先における異なる金利アウトカムの可能性を計算します。

CME手法は、先物価格を使ってこのツリーを通る各経路の確率を計算します。透明で体系的かつ世界中で使用されているため、「ゴールドスタンダード」と呼ばれています。

このページで学べること

CMEが設ける7つの主要な前提
ステップごとの確率の計算方法
2022年9月の実際の例
複数の会合にわたってツリーがどのように拡張されるか
この手法が有効な場合と限界がある場合

CME FedWatchツールは、拡張二項確率ツリーを採用して、30日物フェデラルファンド先物価格からFOMCの金利決定の市場含意確率を抽出します。この手法は、金融政策期待の抽出に関して最も広く参照されるデリバティブベースのアプローチです。

中核的革新：拡張ツリーフレームワークは、連続的な先物価格情報を複数の連続する政策決定にわたる離散確率分布に変換するという課題をエレガントに解決します。各ノードで構造（二分岐）を課しながら柔軟性（市場価格への適応性）を維持することで、この手法は計算可能性と市場対応性のバランスをとります。

理論的基礎：このアプローチは資産価格付けの基本定理に基づいており、先物価格が期待スポットレートと等しくなるリスク中立確率測度の存在を確立します。契約期間中に確定的な短期金利をもつフェデラルファンド先物の場合、これは以下のように単純化されます：

$$\text{Futures Price}_t = 100 - E^{\mathbb{Q}}_t[\text{Average EFFR during contract month}]$$ where $\mathbb{Q}$ denotes the risk-neutral measure

ページ構成

このページでは、CME拡張ツリー手法の包括的な技術文書を提供します：

7つの基礎的前提 - 計算を実行可能にする重要な単純化
数学的フレームワーク - 確率抽出手続きの形式的導出
計算プロトコル - ステップごとのアルゴリズム的実装
計算例 - 2022年9月FOMC確率の完全なウォークスルー
ツリー拡張のロジック - 複数の将来の会合に対する伝播ルール
手法上の限界 - 既知の失敗モードと境界ケース

7つの基礎的前提

CME手法が機能するためには、いくつかの単純化の前提を設ける必要があります。これらは常に完全に正確ではありませんが、ほとんどの場合、良い予測を生み出すのに十分近いものです。

前提1：25ベーシスポイント単位の離散的変更

意味：Fedは金利を0.25%（4分の1ポイント）刻みで動かす

現実の確認：通常は正しい！Fedは25bpの変更を好みます。しかし緊急時（2022年のように）には、50bpや75bpの変更を行うこともあります。

前提2：EFFRが比例的に反応する

意味：Fedが目標金利を25bp引き上げると、実効フェデラルファンド金利（実際に市場で取引される金利）も25bp上昇する

現実の確認：現在の潤沢準備制度のもとでは非常に近い真実です

前提3：ゼロ下限

意味：金利はゼロ以下には下がれない

現実の確認：米国では正しい。（ECBなど一部の国はマイナス金利を実施してきましたが、それは別の話です。）

前提4：各会合での二項的アウトカム

意味：各Fed会合では2つのことしか起こらない - 市場が予想することか、一段階異なること（25bp上昇または低下）のどちらか

現実の確認：これは単純化です。市場が3つのアウトカムの間で本当に不確かな場合もあります。

前提5：定例会合のみでの変更

意味：Fedは年8回の定例会合のみで金利を変更し、会合の間には変更しない

現実の確認：通常は正しい。緊急の会合間変更は稀です（最後は2020年3月のCOVID時）

前提6：連続性条件

意味：ある月末の金利は翌月初の金利と等しい

現実の確認：正しい！金利は月をまたいで一夜にして跳躍することはありません。

前提7：リスク中立的価格付け

意味：先物価格は、トレーダーが恐れたり期待したりすることではなく、起こると予想することを反映している

現実の確認：完全ではありません！研究によると、先物価格には「リスクプレミアム」が含まれており、トレーダーは保険のために少し余分に支払います。これについては後で議論します。

CME拡張ツリー手法は、確率抽出問題を計算可能な形に制約する7つの基礎的前提に基づいています。これらの前提を理解することは、この手法が信頼できる指針を提供する場合と、代替的アプローチが必要になる場合を評価するうえで不可欠です。

前提1：25bpの離散的変更

$$\Delta \text{EFFR} \in \{..., -50, -25, 0, +25, +50, ...\} \text{ basis points}$$

根拠：連邦準備制度は1990年代半ば以降、漸進主義と政策実施の予測可能性への欲求を反映して、0.25%刻みの変更に強い選好を示してきました。

違反の例：この前提は、Fedが大幅な変更（50bpや75bpの変更は2001〜2002年、2008年、2022〜2023年に発生）を実施する危機時には成立しなくなります。この手法は大きな刻みの確率を計算することで適応しますが、3つの異なるアウトカムに対して有意な確率質量が存在するような真の三峰型分布を二分木構造では表現できません。

前提2：EFFRの比例的反応

$$\text{If } \text{FOMC Target}_{t+1} = \text{FOMC Target}_t + \Delta r$$ $$\text{then } \text{EFFR}_{t+1} = \text{EFFR}_t + \Delta r$$

根拠：準備残高付利（IORB）を主要ツールとする現在の潤沢準備フレームワークのもとで、EFFRはFOMC目標レンジの中間点であるIORBを最小限のスプレッド（通常1〜5ベーシスポイント）で追跡します。

歴史的文脈：この前提は政策レジームに依存します。潤沢準備のもとでは（2020年以降）よく成立しますが、2008年以前の回廊制度や2017〜2019年の希少準備レジームでは成立しなかったでしょう。

前提3：ゼロ下限（ZLB）

$$\text{EFFR}_t \geq 0 \quad \forall t$$

根拠：米国の制度的文脈では、マイナスの名目金利は法的・運用上の障壁に直面します。連邦準備制度はマイナス金利を実行可能な政策手段とは考えないと一貫して表明しています。

国際比較上の注意：この前提は普遍的には成立しません。ECB、日本銀行、スイス国立銀行などはマイナスの政策金利を実施してきました。これらの国への CME 型手法の適用には修正が必要です。

前提4：二分岐構造

$$\text{At each FOMC meeting: } |\{\text{possible outcomes}\}| = 2$$

根拠：二分岐構造は計算を大幅に単純化します。各ノードで市場は一方のアウトカムに確率 $p$ を、もう一方に $(1-p)$ を割り当てることができ、これは期待される金利変化の小数部分から抽出可能です。

限界：これはこの手法の最も重大な過剰単純化です。真の不確実性が存在する期間（例：2023年初頭に市場が据え置き・利上げ・利下げの間で議論していたとき）に2つのアウトカムに制限すると、確率分布が歪められます。この手法は $P(\text{アウトカム }A) = 0.4$、$P(\text{アウトカム }B) = 0.35$、$P(\text{アウトカム }C) = 0.25$ のようなシナリオをネイティブに表現できません。

前提5：会合間変更なし

$$\Delta \text{FOMC Target}_t = 0 \quad \text{if } t \notin \{\text{scheduled FOMC dates}\}$$

根拠：会合間の変更は歴史的に稀であり、極端な状況（9.11、2008年金融危機、2020年3月のCOVID危機）のみに発生しています。この稀少性は、ベースラインの確率計算からそれらを除外することを正当化します。

失敗モード：会合間の行動が可能になる急性の危機時には、先物市場がこの手法では適切に分解できない確率を価格に織り込み、不整合な確率推定につながる可能性があります。

前提6：月境界をまたぐ連続性

$$\text{EFFR(End)}_t = \text{EFFR(Start)}_{t+1}$$

根拠：金利は月境界で不連続に跳躍しません。この連続性条件により、この手法はFOMCの「アンカー」月をまたいで金利情報を前後に伝播できます。

技術的役割：この前提はアルゴリズムの伝播ルールにとって重要であり、FOMC月内の開始レートと終了レートを解くために必要な制約方程式を提供します。

前提7：リスク中立確率測度

$$\text{Futures Price}_t = E^{\mathbb{Q}}_t[\text{Spot Rate}_{t+h}]$$ $$\text{where probabilities are under risk-neutral measure } \mathbb{Q}$$

根拠：標準的なデリバティブ価格付け理論は、先物価格がリスク中立的期待を反映することを確立しています。この前提により、価格水準から確率を直接抽出できます。

重要な注意点：Piazzesi & Swanson（2008年）やHamilton & Okimoto（2011年）などの広範な実証研究は、フェデラルファンド先物が年間平均35〜61ベーシスポイントの有意な正のリスクプレミアムを含んでおり、それが景気循環に対して反循環的で予測可能であることを示しています。この手法はリスク中立確率（実物確率ではなく）を抽出します。政策予測（市場の認識を測定するのとは対照的）においては、リスクプレミアムの調整が不可欠になります。

方法論的含意

これら7つの前提は集合的にCME手法の適用可能な領域を定義します：

最適なパフォーマンス：定例会合、0.25%刻みの変更、低い不確実性という通常の政策環境（大安定期スタイルの条件）
低下したパフォーマンス：危機期間、政策レジームの転換、または複数のアウトカムにわたって確率が真に分散している状況
失敗モード：緊急の会合間変更、マイナス金利環境（修正なしでは）、または二分岐構造では想定されない大幅（75bp以上）な変更

計算フレームワーク

それでは、CME手法が確率をどのように計算するかを正確に説明します。単純なステップに分解して説明します。

全体像：何を求めようとしているのか？

私たちが知りたいのは：次の会合でFedが金利を引き上げるか、引き下げるか、または据え置くかの確率は何か？

これを解明するために使うもの：

現在のFed金利
Fed会合がある月の先物価格
Fed会合の日程
すべてをまとめるための数学！

重要な洞察：アンカー月

「アンカー月」とは何か？

アンカー月とはFed会合がない月のことです。これらは非常に役立ちます。なぜなら月を通じて金利が変わらないため単純だからです！先物価格が金利が何であるかを直接教えてくれます。

例：10月にFed会合がなく、10月の先物価格が96.94の場合、10月の平均金利は100 - 96.94 = 3.06%であることがわかります。

7つのステップ

ステップ1：アンカー月を特定する

Fedの会合スケジュールを確認します。会合がない月を見つけます。これらが固定点を与えます。

例：FedがSeptember（9月）、11月、12月に会合を開く場合、10月がアンカー月になります。

ステップ2：開始レートを計算する

Fed会合がある月については、月初（会合前）の金利が何であるかを把握します。

アンカー月を使って助けを得ます。9月末の金利は10月初の金利と等しいので（連続性の前提）、逆算することができます。

ステップ3：終了レートを計算する

先物価格は月全体の平均金利を教えてくれます。開始レートと会合前後の日数がわかれば、終了レートを計算できます。

公式：終了レート = （平均金利 × 月の日数 - 開始レート × 会合前日数）÷ 会合後日数

ステップ4：予想変化を計算する

単純な引き算：予想変化 = 終了レート - 開始レート

これにより、市場がFedの金利変更をどれだけ予想しているかがわかります。

ステップ5：25bp単位に変換する

予想変化を0.25で割ります（Fedは25bp刻みで動くため）。

例：予想変化が0.725%の場合、0.725 ÷ 0.25 = 2.9

ステップ6：確率を抽出する

その数値を2つの部分に分けます：

特性値：整数部分（この例では：2）
仮数：小数部分（この例では：0.9）

そして：

（特性値 × 25bp）の確率 = 1 - 仮数 = 1 - 0.9 = 0.1 または 10%
（（特性値 + 1）× 25bp）の確率 = 仮数 = 0.9 または 90%

この例では：50bpの利上げの確率10%、75bpの利上げの確率90%

ステップ7：次の会合に拡張する

今回の会合の終了レートを新しい開始点として使い、次のFed会合に対してプロセス全体を繰り返します。

形式的な数学的導出

CME手法は、先物価格から確率を抽出するために7つの体系的なステップを経て進みます。各ステップを数学的に形式化しましょう。

ステップ1：アンカー月の特定

FOMC会合日の集合を定義します：

$$\mathcal{M} = \{m_1, m_2, ..., m_8\} \subset \text{Year}$$

月 $t$ がアンカー月であるのは以下の場合：

$$t \notin \{month(m_i) : m_i \in \mathcal{M}\}$$

アンカー月に対しては、関係が直接的です：

$$\text{EFFR(Avg)}_t = 100 - \text{Futures Price}_t$$

ステップ2：連続性制約の適用

連続性の前提により以下が確立されます：

$$\text{EFFR(End)}_{t-1} = \text{EFFR(Start)}_{t+1}$$

これはシステムを解くための境界条件を提供します。月 $t$ がアンカー月であり $t+1$ にFOMC会合が含まれる場合：

$$\text{EFFR(Start)}_{t+1} = \text{EFFR(Avg)}_t = 100 - \text{Futures Price}_t$$

ステップ3：月内金利の分解

FOMC会合が日 $d$ に開催される月 $t$（合計 $n$ 日）において、先物の決済レートは出来高加重平均を表します：

$$\text{EFFR(Avg)}_t = \frac{d-1}{n} \cdot \text{EFFR(Start)}_t + \frac{n-d+1}{n} \cdot \text{EFFR(End)}_t$$

会合後のレートを解くと：

$$\text{EFFR(End)}_t = \frac{n \cdot \text{EFFR(Avg)}_t - (d-1) \cdot \text{EFFR(Start)}_t}{n-d+1}$$

ステップ4：予想金利変化の抽出

$$\Delta r_t = \text{EFFR(End)}_t - \text{EFFR(Start)}_t$$

ステップ5：25bp単位への正規化

$$x_t = \frac{\Delta r_t}{25 \text{ bp}} = \frac{\Delta r_t}{0.25}$$

ステップ6：確率の分解

$x_t$ を整数部と小数部の和として表します：

$$x_t = \lfloor x_t \rfloor + \{x_t\}$$ $$\text{where } \lfloor x_t \rfloor = \text{characteristic (integer part)}$$ $$\{x_t\} = \text{mantissa (fractional part)}$$

二分岐の前提のもとで、リスク中立確率は以下のようになります：

$$P(\Delta r = \lfloor x_t \rfloor \times 25 \text{ bp}) = 1 - \{x_t\}$$ $$P(\Delta r = (\lfloor x_t \rfloor + 1) \times 25 \text{ bp}) = \{x_t\}$$

ステップ7：再帰によるツリー拡張

会合 $i$ に続く会合 $i+1$ に対して、以下を使って手続きを再帰的に適用します：

$$\text{EFFR(Start)}_{i+1} = \text{EFFR(End)}_i$$

累積パス確率は分岐に沿って積算されます：

$$P(\text{path through nodes } \{j_1, j_2, ..., j_k\}) = \prod_{i=1}^{k} P(\text{branch at node } j_i)$$

非対称伝播ルール

この手法は不連続性を最小化するために非対称伝播を採用します：

後方：$\text{EFFR(Avg)}_t$ は別のアンカーに到達するまで無限に $\text{EFFR(End)}_{t-1}$ に伝播する
前方：$\text{EFFR(Avg)}_t$ は誤差の複利増幅を防ぐために1か月分のみ $\text{EFFR(Start)}_{t+1}$ に伝播する

この設計は、後方伝播が実現済みの制約を使用する一方、前方伝播は予測の不確実性を増幅させることを反映しています。

計算例：2022年9月のFOMC会合

実際の例を通じて、これがどのように機能するかを正確に見てみましょう。2022年9月21日のFed会合を使います。Fedがインフレと戦うために積極的に金利を引き上げていた魅力的なケースです。

セットアップ

わかっていること（2022年9月21日時点）

9月にFed会合あり（9月21日）
10月にFed会合なし（アンカー月！）
11月にFed会合あり

先物価格：

9月限（ZQU2）：97.4475
10月限（ZQV2）：96.9400

ステップごとの計算

ステップ1：10月から始める（アンカー月）

10月はFed会合がないため、単純です：

10月の平均金利 = 100 - 96.9400 = 3.0600%

この金利は月を通じて変わらないため：

9月末のEFFR = 3.0600%
11月初のEFFR = 3.0600%

ステップ2：9月の開始レートを計算する

9月は30日あります。Fed会合は9月21日です。

会合前日数：21 - 1 = 20日（1日目から20日目まで）
会合後日数：30 - 21 + 1 = 10日（21日目から30日目まで）

9月の先物価格が平均を教えてくれます：100 - 97.4475 = 2.5525%

開始レートを求めます。わかっていること：

平均金利 = 2.5525%
終了レート = 3.0600%（アンカー月から）

公式：平均 = （会合前日数 × 開始レート + 会合後日数 × 終了レート）÷ 合計日数

整理すると：
開始レート = （平均 × 合計日数 - 会合後日数 × 終了レート）÷ 会合前日数
開始レート = （2.5525 × 30 - 10 × 3.0600）÷ 20
開始レート = （76.575 - 30.600）÷ 20
開始レート = 45.975 ÷ 20 = 2.2988%

（注：CMEは若干異なる日数計算を使い、2.3350%を算出しています。原理は同じです！）

ステップ3：予想変化を計算する

予想変化 = 終了レート - 開始レート

予想変化 = 3.0600 - 2.3350 = 0.7250% または 72.5ベーシスポイント

ステップ4：25bp単位に変換する

72.5 ÷ 25 = 2.9

これを分けると：

特性値（整数部）：2
仮数（小数部）：0.9

ステップ5：確率を抽出する

（2 × 25bp = 50bpの利上げ）の確率 = 1 - 0.9 = 0.10 または 10%

（3 × 25bp = 75bpの利上げ）の確率 = 0.9 = 0.90 または 90%

最終結果

2022年9月21日のFOMC会合に対する市場含意確率：

50ベーシスポイントの利上げの確率：10%
75ベーシスポイントの利上げの確率：90%

実際に起きたこと：Fedは75ベーシスポイント引き上げました！市場は正確に予測しました。

完全な計算例：2022年9月21日のFOMC決定

この例は、連邦準備制度の積極的なインフレ抑制利上げサイクル中の2022年9月の実際の市場データを使用して、CME手法を示します。

市場の文脈

分析日：2022年9月21日

FOMCの会合スケジュール：

2022年9月21日（月の21日目）
2022年10月：会合なし（アンカー月）
2022年11月2日

先物契約価格：

ZQU2（2022年9月限）：97.4475
ZQV2（2022年10月限）：96.9400
ZQX2（2022年11月限）：96.4625

計算：2022年9月のFOMC会合

フェーズ1：アンカー制約の確立

2022年10月はFOMC会合を含まないため、アンカー月として確立されます：

$$\text{EFFR(Avg)}_{\text{Oct}} = 100 - 96.9400 = 3.0600\%$$

連続性により：

$$\text{EFFR(End)}_{\text{Sept}} = \text{EFFR(Start)}_{\text{Nov}} = 3.0600\%$$

フェーズ2：9月の月内分解

会合パラメータ：

$d = 21$（会合日）
$n = 30$（9月の日数）
$N = d - 1 = 20$（会合前日数）
$M = n - d + 1 = 10$（会合当日以降の日数）

含意平均金利：

$$\text{EFFR(Avg)}_{\text{Sept}} = 100 - 97.4475 = 2.5525\%$$

月内公式を使って開始レートを求めます：

$$\text{EFFR(Start)}_{\text{Sept}} = \frac{n \cdot \text{EFFR(Avg)}_{\text{Sept}} - M \cdot \text{EFFR(End)}_{\text{Sept}}}{N}$$ $$= \frac{30 \times 2.5525 - 10 \times 3.0600}{20}$$ $$= \frac{76.575 - 30.600}{20} = \frac{45.975}{20} = 2.2988\%$$

注：CMEの公表計算では、若干異なる日数計算規則により2.3350%が算出されています。方法論的原理は同一です。

フェーズ3：金利変化の計算

$$\Delta r_{\text{Sept}} = \text{EFFR(End)}_{\text{Sept}} - \text{EFFR(Start)}_{\text{Sept}}$$ $$= 3.0600 - 2.3350 = 0.7250\% = 72.5 \text{ basis points}$$

フェーズ4：確率の抽出

25bp単位に変換：

$$x = \frac{72.5}{25} = 2.9$$

特性値と仮数に分解：

$$\lfloor x \rfloor = 2 \quad (\text{characteristic})$$ $$\{x\} = 0.9 \quad (\text{mantissa})$$

二項確率を抽出：

$$P(\Delta r = 50\text{bp}) = 1 - 0.9 = 0.10 = 10\%$$ $$P(\Delta r = 75\text{bp}) = 0.9 = 90\%$$

拡張：2022年11月の会合

ツリーはプロセスを繰り返すことで前方に拡張します：

開始点：$\text{EFFR(Start)}_{\text{Nov}} = 3.0600\%$

同一のステップに従うと（詳細は省略）、CME手法は以下を算出しました：

$$P(\Delta r_{\text{Nov}} = 50\text{bp}) = 81.0\%$$ $$P(\Delta r_{\text{Nov}} = 75\text{bp}) = 19.0\%$$

累積パス確率

拡張ツリーは11月までの4つの可能な累積アウトカムを生成します：

パス	9月の変動	11月の変動	累積	確率
1	+50bp	+50bp	+100bp	0.10 × 0.81 = 8.1%
2	+50bp	+75bp	+125bp	0.10 × 0.19 = 1.9%
3	+75bp	+50bp	+125bp	0.90 × 0.81 = 72.9%
4	+75bp	+75bp	+150bp	0.90 × 0.19 = 17.1%

累積変化を集計すると：

$$P(\text{Total } +100\text{bp}) = 8.1\%$$ $$P(\text{Total } +125\text{bp}) = 1.9 + 72.9 = 74.8\%$$ $$P(\text{Total } +150\text{bp}) = 17.1\%$$

実際のアウトカムと検証

2022年9月21日：FOMCは75bp引き上げ（確率：90%）✓

2022年11月2日：FOMCは75bp引き上げ（条件付き確率：19% | 9月=75bp）

この手法は9月の最頻アウトカムを正確に特定しましたが、連続した75bpの変更の確率を過小評価しました。これは先物からのリスク中立確率が実現頻度と完全には一致しないことを示しています。

複数の会合にわたるツリーの拡張方法

CME手法の最も強力な特徴の一つは、1つの会合だけを予測するのではなく、会合の系列全体を予測できることです！

拡張ツリーの視覚化

                今日（金利：4.00%）
                     |
                [第1回会合]
                /          \
          +25bp (70%)    据え置き (30%)
          /                  \
    金利：4.25%            金利：4.00%
        |                      |
   [第2回会合]            [第2回会合]
    /        \             /        \
+25bp (40%) 据え置き (60%)  +25bp (50%) 据え置き (50%)
  /            \          /            \
  4.50%          4.25%     4.25%          4.00%

最終確率：
- 4.50%で終了：70% × 40% = 28%
- 4.25%で終了：(70% × 60%) + (30% × 50%) = 42% + 15% = 57%
- 4.00%で終了：30% × 50% = 15%

ご覧のとおり、ツリーは「拡張」します。各会合で可能なパスの数が2倍になります！

なぜすぐに複雑になるのか

Fed会合が追加されるごとに、可能性が倍増します：

1回の会合後：2つの可能な金利水準
2回の会合後：3つの可能な金利水準（ただし4つのパス）
3回の会合後：4つの可能な金利水準（ただし8つのパス！）
8回の会合後：9つの可能な金利水準（ただし256のパス！！）

これがコンピューターが不可欠な理由です。数学は非常に速く複雑になります。

CMEの対処方法

CMEツールは会合ごとに進み、一つの会合の終了レートを次の会合の開始レートとして使用します。すべてのパスとその確率を追跡し、以下を表示します：

個別の会合確率 - 次の会合では何が起きるか？
累積確率 - 複数の会合の後、金利はどこにあるか？
金利パス - 最も可能性の高い変動のシーケンスは何か？

形式的なツリー拡張アルゴリズム

拡張二項ツリー構造は、複数の連続する政策決定にわたって確率分布を追跡するための体系的なフレームワークを提供します。

再帰的構造

会合 $t$ での状態空間を定義します：

$$\mathcal{S}_t = \{r_{t,1}, r_{t,2}, ..., r_{t,k_t}\}$$ where $k_t$ = number of distinct rate levels reachable by meeting $t$

確率 $P_t(r_{t,i})$ をもつ各状態 $r_{t,i} \in \mathcal{S}_t$ に対して、二分岐は2つの可能な後続状態を生成します：

$$r_{t+1,j} \in \{r_{t,i}, r_{t,i} + 25\text{bp}\} \quad \text{(hiking regime)}$$ $$\text{or}$$ $$r_{t+1,j} \in \{r_{t,i}, r_{t,i} - 25\text{bp}\} \quad \text{(cutting regime)}$$

確率の伝播

$p_{t,i}^{\uparrow}$ を状態 $r_{t,i}$ からの上昇移動の確率とします。$t+1$ における状態確率は複数のパスから集計されます：

$$P_{t+1}(r) = \sum_{r_{t,i}: r \in \text{successors}(r_{t,i})} P_t(r_{t,i}) \cdot p_{t,i}(r_{t,i} \to r)$$

ここで遷移確率 $p_{t,i}(r_{t,i} \to r)$ は、分岐に応じて $p_{t,i}^{\uparrow}$ または $(1 - p_{t,i}^{\uparrow})$ に等しくなります。

組み合わせ的成長

ツリー構造は制御された組み合わせ的爆発を示します：

$$|\mathcal{S}_t| = t + 1 \quad \text{(number of distinct rate levels)}$$ $$\text{Number of paths} = 2^t \quad \text{(combinatorial growth)}$$

ただし、多くのパスが同じ終端金利水準に収束するため、すべてのパスを個別に追跡するのと比べて確率集計の複雑さが軽減されます。

行列表現

ツリーの拡張は状態遷移システムとして表現できます。確率ベクトルを定義します：

$$\mathbf{p}_t = [P_t(r_{t,1}), P_t(r_{t,2}), ..., P_t(r_{t,k_t})]^T$$

遷移行列 $\mathbf{T}_t$ の要素 $T_{ij}$ は、会合 $t$ の状態 $i$ から会合 $t+1$ の状態 $j$ へ遷移する確率を与えます：

$$\mathbf{p}_{t+1} = \mathbf{T}_t \mathbf{p}_t$$

この行列定式化により、前方確率の効率的な計算と感度分析が可能になります。

収束パスの集計

複数のパスが同じ累積金利変化につながる場合があります。例えば、2回の会合後の累積+50bpの変化は以下から生じ得ます：

パス1：+25bpの後+25bp
パス2：+50bpの後0bp
パス3：0bpの後+50bp

目標金利で終了する確率は、すべての寄与パスにわたって集計されます：

$$P_T(r_{\text{target}}) = \sum_{\text{all paths } \pi \text{ to } r_{\text{target}}} \prod_{t \in \pi} p_t(\text{branch taken at } t)$$

計算量

素朴なパス列挙は $T$ 回の会合に対して $O(2^T)$ 回の演算を必要とします。しかし動的プログラミングは、個々のパスを追跡する代わりに各状態で確率を集計することで、これを $O(T^2)$ に削減します：

\begin{align} \text{Initialize: } & P_0(r_0) = 1 \\ \text{For } t = 1 \text{ to } T: & \\ & \text{For each } r \in \mathcal{S}_t: \\ & \quad P_t(r) = \sum_{r' \in \text{predecessors}(r)} P_{t-1}(r') \cdot p_{t-1}(r' \to r) \end{align}

このアルゴリズム効率性により、8回以上の会合地平においてもリアルタイム計算が可能になります。

エッジケースと境界条件

ゼロ下限：金利がゼロに近づくと、上昇分岐は通常通り継続しますが下降分岐は制約されます：

$$\text{If } r_{t,i} < 25\text{bp, only successors are } \{0, r_{t,i} + 25\text{bp}\}$$

金利の反転：二項の前提は近期において即時の反転（利上げの後に利下げ、またはその逆）を暗黙的に除外します。これは行動の平滑化を反映していますが、政策の不確実性の期間中のテールリスクを過小評価する可能性があります。

非標準的な刻み：先物が25bp超の変動（特性値 ≥ 1）を示唆する場合、ツリー構造はより大きな変動を複数の25bpステップに分解するのではなく単一の分岐として扱うことで対応します。

既知の限界と手法が機能しなくなる場合

完璧な予測方法はなく、CME拡張ツリー手法にもいくつかの既知の限界があります。これらを理解することで、確率をいつ信頼し、いつ懐疑的になるべきかがわかります。

よく機能する場合

通常の時期：経済が安定しており、Fedが段階的な調整を行っているとき
近期の予測：次の1〜2回の会合（3〜6か月以内）
標準的な25bpの変動：Fedが従来の0.25%刻みで動いているとき
明確な市場コンセンサス：トレーダーが何が起こるかほぼ合意しているとき

苦手とする場合

問題1：大幅または緊急の変動

この手法は25bpの変動を前提とします。Fedが50bp、75bp、または緊急の利下げを行う場合、二項ツリー構造は適応しなければなりません。対処はできますが、エレガントさが失われます。

例：2020年3月の定例会合の間のCOVID緊急利下げ

問題2：真の三方向の不確実性

二項ツリーは各会合で現実的な選択肢が2つしかないと言います。しかし市場が3方向に割れていたら？

例：2023年初頭、市場が25bp利下げ（30%）、据え置き（40%）、25bp利上げ（30%）の間で議論していたとき

この手法はこれを2つのカテゴリーに強制的に当てはめ、真の確率分布を歪めます。

問題3：リスクプレミアムによる偏り

前提7を覚えていますか？先物価格には「リスクプレミアム」が含まれており、トレーダーは保険のために余分に支払います。つまり先物価格は純粋な予測ではなく、わずかに偏っています。

研究によると、この偏りは年間約35〜60ベーシスポイントであり、景気後退中に大きくなります。

問題4：長期的な信頼性の低さ

先を見るほど、信頼性が低下します：

1〜3か月先：非常に信頼できる
3〜6か月先：かなり良い
6〜12か月先：疑わしい
12か月以上先：しばしば外れる！

これは、先物市場が遠くなるほど流動性が低下し、経済状況が大きく変わり得るためです。

結論

CME拡張ツリー手法は、通常の状況における短期の市場期待を理解するための優れたツールです。しかし危機時、レジームの変化時、または長期予測には、調査、経済モデル、専門家の判断などの他の手法と組み合わせるべきです。

手法上の限界の体系的な分析

CME拡張ツリー手法は先物から政策期待を抽出するための業界標準を表していますが、その適用可能な領域を制約するいくつかの構造的限界を内包しています。

限界1：二分岐制約

会合ノードごとに2つのアウトカムに制限するという根本的な制約は、3つ以上のシナリオに確率質量が真に分散しているときに体系的な歪みをもたらします。

数学的な現れ方：実物確率が以下のような状況を考えます：

$$P^{\mathbb{P}}(-25\text{bp}) = 0.30, \quad P^{\mathbb{P}}(0\text{bp}) = 0.40, \quad P^{\mathbb{P}}(+25\text{bp}) = 0.30$$

二項フレームワークはこれを2つのカテゴリーに強制的に当てはめ、以下を結果として生じます：

$$P^{\mathbb{Q}}(\text{outcome}_1) = 1 - m, \quad P^{\mathbb{Q}}(\text{outcome}_2) = m$$

ここで $m$ は仮数です。これは必然的に真の分布を誤表現し、歪みの大きさは除外された第3のアウトカムの確率質量に比例します。

結果：

確率が真に分散している場合のテールリスクの過小評価
最頻アウトカムへの確率質量の人為的集中
対称的な不確実性（3つの状態にわたって等確率）を表現できない

限界2：リスクプレミアムによる汚染

この手法はリスク中立（$\mathbb{Q}$）確率を抽出しますが、政策予測には実物（$\mathbb{P}$）確率が必要です。両者の間の差はリスクプレミアムから生じます：

$$\text{Futures Price}_t = E^{\mathbb{Q}}_t[\text{Spot Rate}] = E^{\mathbb{P}}_t[\text{Spot Rate}] + \text{Risk Premium}_t$$

実証的な規模（Piazzesi & Swanson 2008年）：

平均リスクプレミアム：年間35〜61ベーシスポイント
時変成分：景気循環に対して反循環的（景気後退時に高い）
予測可能性：雇用成長率、利回りスプレッド、社債スプレッドと相関

リスクプレミアムを調整しないことは確率を体系的に偏らせます：

$$P^{\mathbb{Q}}(\text{hike}) > P^{\mathbb{P}}(\text{hike}) \text{ during expansions}$$ $$P^{\mathbb{Q}}(\text{cut}) < P^{\mathbb{P}}(\text{cut}) \text{ during recessions}$$

限界3：離散的変動の前提の違反

25bp刻みの前提は歴史的には正当化されますが、積極的な政策行動を必要とする危機時には失敗します：

エピソード	非標準的な変動	方法論への影響
2001〜2002年景気後退	複数の50bp利下げ	二項ツリーは適応するがエレガントさを失う
2008年金融危機	100bpの利下げ（10月）、会合間の変動	前提5が違反され、確率が不安定になる
2020年COVID危機	150bpの緊急利下げ（3月）	極端な非標準；先物ベースの予測が機能不全に
2022〜2023年インフレ抑制	4回連続の75bp利上げ	ツリー構造は対応するが連続した大幅変動を過小評価

限界4：地平依存の信頼性

予測パフォーマンスは地平とともに体系的に悪化します：

$$\text{Forecast Accuracy}(h) = \alpha - \beta \cdot h + \epsilon$$ $$\text{where } h = \text{horizon in months}$$

地平劣化の要因：

流動性の低下：より長期限の契約では売買スプレッドが拡大し、情報効率が低下する
マクロ経済の不確実性：より多くのショックが実現するため、条件付き予測分散は地平とともに増大する
政策レジームリスク：長期の地平は政策反応関数における構造的断絶の確率を高める
ターム・プレミアムの混同：より長期の契約は、時変的かつ複雑な割合で期待とターム・プレミアムの両方を含む

地平別の比較パフォーマンス（Gürkaynak et al. 2007年）：

1〜3か月：フェデラルファンド先物が最適、調査やモデルを上回る
3〜6か月：フェデラルファンド先物がプライマリーディーラー調査と競合
6〜12か月：調査が概して優れており、モデルが補完的な情報を提供
12か月以上：調査と構造モデルが望ましく、先物は信頼性が低い

限界5：現状バイアスや学習機能なし

ベースラインのCME手法はすべての金利変更を対称的かつ独立に扱います。以下はモデル化しません：

中央銀行の漸進主義：政策継続性への選好が実証的に文書化されている（Rudebusch 2002年）
経路依存性：政策決定の連続的な相関（最初の利上げが与えられた場合の2回目の利上げの可能性）
コミュニケーション効果：フォワードガイダンスが決定確率を変化させる影響
データ依存性：実現した経済指標に基づく条件付き確率の更新

これらの行動的・制度的特徴は強化されたフレームワーク（当社の方法論で議論）によって組み込むことができますが、ベースラインのCME実装からは欠如しています。

利用者への実際的な示唆

推奨されるベストプラクティス：

地平に応じた使用：1〜3か月の予測にはCME確率を活用し、より長い地平には調査と組み合わせる
レジームの認識：危機時、政策転換時、または会合間の変動が可能になった場合は注意を払う
クロスバリデーション：先物含意確率をOISベースの測定値、調査、エコノミスト予測と比較する
リスクプレミアムの調整：政策予測（市場の認識の測定とは対照的）のためには、雇用・スプレッドモデルを使って文書化されたリスクプレミアムを調整する
不確実性の定量化：点推定ではなく確率範囲を報告し、モデルの限界を認識する

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このページでは、CME拡張ツリー手法について包括的な詳細解説を提供しました。欧州中央銀行（ECB）およびイングランド銀行（BOE）向けにこの手法をどのように適用しているかについては、メインの方法論ページに戻ってご確認ください。

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