方法論

なぜこの方法を変更したのか

このサイトの各中央銀行ページでは、今後の各会合における利上げ・利下げ・据え置きの確率を表示しています。これらの確率は金利先物価格——プロのトレーダーが政策金利の行方に賭ける実際の資金——から抽出されています。しかし、数ヶ月分の先物価格を特定の会合日の確率に変換するには、常にモデルが必要でした。なぜなら先物契約は「3月19日の会合で利上げが実施される確率は60%である」とは述べないからです。先物契約が示すのはもっと間接的な情報、すなわち「3月の翌日物金利の平均はX%になると予想される」ということです。この月次平均を会合ごとのストーリーへと変換する何かが必要なのです。

長らく当サイトでは、このページの後半で詳しく説明する従来の手法を使用してきました。その会合が属する月とその直前・直後の月の先物契約のみを用いて、会合を1つずつ解いていく方法です。この手法はシンプルで透明性が高く、まさにその理由から業界標準のアプローチとなっています——実際、連邦準備制度について公式のCME FedWatchツールが用いているのと同じ手法です。

2026年中頃にECBのページで見つかった、明らかに不自然な100%の利上げ確率を調査する中で、このシンプルな一会合ずつの手法には構造的な弱点が実際に存在することが判明しました。2回以上の会合が連続するカレンダー月に発生し、計算の拠り所となる「静かな」（会合のない）月がその間に存在しない場合、この手法は大きく誤る可能性があるのです。そのような場合、従来の手法にはその期間を支える確固たる基盤がなく、実際の市場価格におけるごく通常のわずかな揺らぎが、大きく不自然な変動へと増幅されてしまいます。

具体例：旧手法が破綻した理由

月末近くの会合が問題を引き起こす理由：数字で見る計算

上記のECBの事例は、実際の数字を追ってみる価値があります。仕組みを並べて見れば単純だからです。

新しい手法の仕組み：平易な説明

1つの会合を切り離して解き、隣接する月がうまく協調してくれることを期待するのではなく、当サイトの現在の手法は、利用可能な先物価格のカーブ全体——ECBやBoEのような銀行であれば、およそ2年分の月次先物契約に相当します——を一度に見渡し、たった1つの問いを立てます。すなわち、実際に予定された会合日にちょうど発生する、少数の金利変化の最もシンプルなパターンで、これらすべての価格を同時に正しく説明できるものは何か、という問いです。

これは微妙ながらも重大な視点の転換です。「この1ヶ月分の価格とその隣接月だけを見て、この1回の会合で何が起きたか」を問うのではなく、「カーブ上のすべての価格を踏まえて、観測されるすべてを説明できる、実在する意味のある金利変化——実際の会合日における——の最小個数は何か」を問うのです。中央銀行は実際には、すべての会合で金利を変更するわけではありません。動くよりも据え置く回数の方がはるかに多いのです。当サイトはこの前提を、数学的な優先傾向（正式にはスパース性事前分布）としてモデルに直接組み込んでいます。これは、データにわずかに良くフィットさせるためだけに小さく見せかけの揺らぎをすべての会合日に散りばめる説明よりも、少数の明確で意味のある金利変化による説明を積極的に優先します。単一の不自然な契約価格や、近くに拠り所のない薄いカーブの一部分は、もはや答えを歪める力を持ちません。なぜならそれは今や、唯一の入力ではなく、共に重み付けされる数十のエビデンスの1つに過ぎないからです。

これは実のところ、当サイトが日本銀行向けにすでに構築し使用していたのとまったく同じ手法——そして、まったく同じ基盤コード——です。日本銀行の先物契約は1ヶ月ではなく3ヶ月分をまとめて対象とするため、そもそも単一会合手法はそこでは機能し得ませんでした。当サイトは今回、この同じ同時解アプローチを連邦準備制度、欧州中央銀行、イングランド銀行にも拡張しました。これにより、先物ベースの4つの中央銀行すべてが、一貫したより頑健な1つの手法で扱われることになります。

なぜ単純にカーブを平滑化しなかったのか

一見自然に思える代替案——実際に真剣に検討・研究した上で却下したもの——は、先物価格に滑らかな曲線をフィットさせ（当サイトが実際の債券利回りカーブに対して既に他の箇所で使用している、ネルソン・シーゲル・スヴェンソン、略してNSSと呼ばれる手法）、その滑らかな曲線から確率を読み取るという方法です。

当サイトがこれを却下した理由は単純です。中央銀行の政策金利は滑らかではないからです。会合と会合の間はぴったり1つの水準にとどまり、委員会が金利変更を議決したときにのみ——正確に公表された日程で、離散的な量だけ——ジャンプします。それは緩やかな坂ではなく、階段のように振る舞います。階段状のデータに滑らかな曲線をフィットさせても、階段は復元されません。実際の各ステップの高さを、その前後の日々や週にわたって静かに分散させた、緩やかな傾斜のように見えるものが生成されるだけです。これは当サイトが測定しようとしている対象にとって、まさに間違った性質です。数日にまたがるもっともらしいブレンドではなく、予想される変化のうちどれだけがこの特定の会合に属するのかを知る必要があるのです。平滑化モデルは、各会合でまさに何が起きるかについての確信を体系的に過小評価する一方で、何も予定されていない通常の日々についても、連続的で緩やかなドリフトが生じているという誤った印象を作り出してしまいます。

当サイトの同時最小二乗アプローチは、両方の発想の良い部分を兼ね備えています。カーブの平滑化と同様に、1つの会合の直近の隣接契約だけでなく、カーブ全体——数十の契約——を一度に利用します。しかしカーブの平滑化とは異なり、現実に実際に合致する制約——金利は会合と会合の間は一定であり、会合日にのみジャンプする——を決して放棄しません。これは中央銀行の振る舞いについて異なる前提を置くものではなく、すべてのデータをより賢く利用する方法なのです。

自らの結果をどう検証しているか

この計算と並行して、2つの安全策が毎日自動的に実行されています：

• 適合度ゲート。 カーブの最もシンプルな説明を解いた後、その説明が個々の契約価格にどれだけ実際に一致しているかを測定します。もし適合度が定めた許容範囲を超えて悪ければ——その日、カーブが少数の会合起因のステップにきれいに分解されないことを示すサインです——信頼できない数値を公開するのではなく、該当する確率を完全に非公開とします。日本銀行のページでは、四半期契約の適合度が悪化するたびにこれが「非公開」として表示されます。
• 独立したクロスチェック。 特にECBとBoEについては、計算に用いる1ヶ月物先物契約は、当サイトが利用する無料データフィード上で取引量を報告していないため、その流動性を直接確認することができません。これに対応するため、実際の取引量を報告している同じ原資産金利の3ヶ月物先物を別途スクレイピングし、両方のカーブの形状が整合しているかを確認しています。両者が食い違う場合には、薄い方の商品を黙って信頼するのではなく、サイト上に注意書きを表示します。

これらの詳細については、以下のエキスパート向けの説明でより技術的に解説しています。

形式的な設定

ある中央銀行について、カーブ上で利用可能な先物契約を \(c_1, \ldots, c_N\)（通常、数年先までにわたる20〜60本の月次契約）とし、それぞれが既知のウィンドウ \([s_k, e_k)\) と示唆金利 \(F_k\)（100から提示価格を引いたもの）を持つとします。カーブの対象期間内に収まる今後の会合日を \(m_1 < m_2 < \cdots < m_J\)、会合 \(j\) における（未知の）金利ステップを、標準的な変動幅（25bp）の符号付き倍数として表した \(\delta_j\) とします。

各契約の各会合に対する日数加重エクスポージャーは、以下のデザイン行列 \(A\) に表されます：

（分子はウィンドウ \(k\) のうち会合 \(j\) より後に位置する日数、分母はウィンドウの合計日数）

すなわち、契約 \(k\) のウィンドウのうち会合 \(j\) より後にある部分の割合です——会合がウィンドウの終了後であれば正確に0、ウィンドウの開始前であれば正確に1、会合がウィンドウ内に収まる場合はその中間の分数になります。\(b_k = F_k - R_0\)（示唆金利から現在のベースラインとなる短期金融市場金利を引いたもの）とすると、連立方程式 \(A\,\delta = b\) は、各契約の示唆金利を、それより前に位置するすべての会合ステップの日数加重累積和として表します。

正則化解

\(N \gg J\)（未知の会合ステップ数よりも契約数の方がはるかに多い）であるため、このシステムは大きく過剰決定されています——これこそが要点です。会合ごとに小さく厳密に決定される2方程式系を解く（従来のアプローチ）のではなく、カーブ全体をカバーする1つの大きな冗長システムを解きます。最小化する対象は：

\(\ell_1\) ペナルティは、上述したスパース性事前分布であり、反復重み付け最小二乗法（IRLS）によって解かれます。各反復ではペナルティを \(1/(|\delta_j| + \epsilon)\) で再重み付けするため、反復を重ねるにつれて小さく見せかけのステップはゼロへと押しやられ、真に根拠のある動きだけが残ります。これはスパース復元に対する標準的な凸緩和アプローチ（圧縮センシング型の \(\ell_1\) 最小化）であり、ここで採用したのはまさに、中央銀行が予定された会合のうちごく一部でしか実際に動かないことが実証的に示されているためです。この事前分布は恣意的な平滑化の選択ではなく、モデル化している対象プロセスの真の、よく文書化された性質を直接的にエンコードしたものです。

従来のCME／PyFedWatch分解との関係

この2つの手法は無関係ではありません——同時ブートストラップは、別の発想を置き換えるものではなく、一般化として理解するのが最も適切です。従来の手法（下記のセクション1）は、まさに同じ基盤となる日数加重システムを、直近の隣接契約2本と未知のステップ1つだけを用いて、逐次的に一度に1つずつ解き、解かれた各境界を次へ伝播させていく特殊なケースにほかなりません。この局所的な2方程式2未知数の解は、拠り所となるきれいな隣接「会合なし」月が利用可能な場合（その提示価格が必要な境界条件を直接与えるため、逆算は不要）には厳密です——これは実は、単独で1つの会合だけを解く必要がある場合の当サイトの実装のフォールバック経路にも当てはまります。ローカル手法の脆弱性は、まさにそのようなきれいな隣接月が存在せず、2区間の日数カウント恒等式を逆算しなければならない場合に現れます。すなわち、その1ヶ月の中で会合のどちら側に何日あるかによって除算することになり、会合が月境界のごく近くに位置するときには数値的に不安定になります（上記の計算例を参照。Fed、ECB、BoEの月末1週間以内に位置する会合について、実際の2026年契約データで6〜15倍の増幅係数を測定しました）。カーブ全体にわたって同時に解くことで、その1つの、条件数が悪い可能性のある局所方程式が、条件の良い冗長な方程式数十個に置き換わり、これがこの失敗モードが消える理由です。

ネルソン・シーゲル・スヴェンソン平滑化アプローチを却下した理由

ネルソン・シーゲル・スヴェンソンは、瞬間フォワードレートを満期の滑らかで無限回微分可能なパラメトリック関数としてモデル化します——これは、異なる満期にまたがる真の利回りタームストラクチャーをフィットさせるための、標準的かつ十分に正当化されたアプローチであり、その対象（満期に応じて連続的に変化するデュレーションと信用リスクを反映する、市場清算利回り）が実際に滑らかであるケースに適しています。当サイトはまさにこのモデルを、実際の国債利回りカーブに対して他の箇所で使用しています（ネルソン・シーゲル・スヴェンソンのページを参照）。そこでは正しい対象に正しい手法が使われています。

ここで推定している対象——中央銀行の翌日物政策金利の経路——は、その性質上滑らかではありません。離散的な、事前に予定された（あるいは時に緊急の）会合日にのみ変化し、それ以外は完全に平坦であることが証明可能です。あらかじめステップ関数であることが分かっている対象に滑らかな関数形を課すことは、様式上の好みの問題ではなく、モデルの仕様誤りであり、この特定の用途において2つの具体的で望ましくない結果をもたらします：

1. タイミング帰属のバイアス。 滑らかな関数は、真の不連続性を表現する仕組みを持たないため、実際の離散的なステップを真のジャンプ日に集中させるのではなく、必然的にカーブの近隣領域に分散させてしまいます。定義上、フィットが厳密であるためには、会合日そのものにおいて一次導関数が未定義（デルタ関数のようなスパイク）である必要がありますが、NSSの4〜6パラメータの関数形ではそれを表現できません。
2. 「日付ぴったり」の確率抽出が不良設定になる。 滑らかなカーブから特定の会合の金利変化確率を抽出するには、連続的な傾きを離散的な日付にどう帰属させるかを決める必要があります。これをモデルが解決しようとしていたまさにその会合帰属問題のある種のバージョンを再導入することなく行う、原理的でパラメータフリーな方法は存在せず、そのような帰属ルール自体が校正と正当化を必要とし、精度向上を伴わないまま複雑性だけを増すことになります。

当サイトの同時最小二乗ブートストラップを採用したのは、まさにそれが「滑らかなカーブを使う」という発想の動機となった本来の利点——2つの隣接点ではなくカーブ全体の情報を同時に利用すること——を捉えつつ、対象について実際に成り立ち、確率抽出全体が依拠している唯一のモデル前提（区分定数で会合日にジャンプする）を放棄しないためです。

適合度ゲートと「データ捏造を行わない」方針

解を求めた後、生の \(\ell_2\) ノルムではなく、契約方程式ごとの二乗平均平方根残差 \(\text{RMS} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_k (A\delta - b)_k^2}\) を計算します。これは、ある日に利用可能な契約数がいくつであっても同じ許容閾値が比較可能であるようにするためです（生のノルムは \(\sqrt{N}\) に応じて増大するため、そうしなければ契約が豊富なカーブほど、疎なカーブより見かけ上フィットが悪く見えてしまいます）。RMS残差が固定の許容値を超える場合、根拠の乏しい分解を公開するのではなく、その実行についてはその銀行の会合ごとの確率を完全に非公開とします——これは、不確実な出力を隠し、もっともらしく見える数値を捏造しないという、当サイトの広範な「データ捏造を行わない」方針と一致しています。これは、日本銀行の四半期ブートストラップを既に統制しているのと同じゲートを、月次の銀行に一般化したものです。

独立した商品によるクロスバリデーション

ECBとBoEの計算入力であるESTRおよびSONIAの1ヶ月物先物契約は、当サイトが利用する無料データフィード上では決済価格は報告されるものの取引量は報告されないため、その流動性をFed Funds先物と同じ方法で直接確認することはできません。検証不可能な商品を単純に信頼することなくこれに対応するため、実際の取引量を報告している対応する3ヶ月物のESTRおよびSONIA先物ストリップを別途スクレイピングし、カーブの形状を比較します。各3ヶ月物契約のウィンドウについて、そのウィンドウ内に収まる1ヶ月物カーブの示唆金利を平均し、同じ期間の3ヶ月物契約自体の提示金利と比較します。両者は、おおむね一定のターム／流動性スプレッドの範囲で連動するはずです。スプレッドが安定したオフセット付近にとどまらず、ウィンドウごとに予測不能に変動する場合、それは1ヶ月物カーブの形状が実際の流動性のある参照値と食い違っていることを示します。そのような場合、1ヶ月物由来の確率を無条件に提示するのではなく、サイト上にデータ品質に関する注意書きを表示します。

現在の対象範囲と限界

同時ブートストラップは現在、連邦準備制度、欧州中央銀行、イングランド銀行（月次契約）、および日本銀行（四半期契約——本手法がもともと構築された用途）を対象としています。オーストラリア準備銀行は意図的に対象外としています。その確率は、独自の専用の単一ステップ二項手法を持つ、別個の、既に流動性の高いASX 30日物インターバンクキャッシュレート先物パイプラインから取得されており（ASX対CME手法比較ページを参照）、これは本ブートストラップが解決しようとしたデータの薄さという根本的な問題を共有していません。

スパース性事前分布は真のモデル前提であり、無償の恩恵ではありません。原理的には、データがどの会合に属するかについて極めて曖昧である場合、実在するが小さく、本当に緩やかな政策ドリフトを過小に帰属させる可能性があります。実務上は、これが問題となるケースを適合度ゲートが捕捉します——スパース性の前提が実データと衝突しているために適合度が悪い分解は、無理に押し通すのではなく非公開とされます。従来の手法と同様に、より先の会合（およそ2〜4回先を超える会合）は、どちらの分解手法を用いるかにかかわらず、タームプレミアムや一般的な市場の不確実性のために引き続き信頼性が低くなります。

核心的なコンセプト

金利先物は、金利の動向に実際の資本を投じる何千もの機関投資家の予想を集約したものです。CME FedWatch手法は、これらの価格を3つのステップで確率に変換します。

ステップ1：先物契約は平均金利を反映する。 フェデラルファンド先物契約は、特定の月の実効フェデラルファンド金利の平均に基づいて決済されます。現在の金利が5.00%で6月の契約が4.75%を示唆している場合、市場は6月の平均金利が4.75%になると予想しています。

ステップ2：会合のタイミングを考慮する。 Fedが6月15日に会合を開く場合、月の最初の15日間の金利は会合前の金利（5.00%）です。残りの15日間の金利はFedが決定するものになります。先物価格は両期間の加重平均を捉えています。

ステップ3：会合後の示唆された金利を解く。 カレンダー計算を使用して、観測された先物価格と一致する会合後の金利を解きます。その金利が5.00%と4.75%の中間である4.875%であれば、据え置きの確率がおよそ50%、25bpの利下げの確率が50%となることを意味します。

検証： 2020〜2024年の95件の中央銀行決定における方向性の正確率は90%以上です。

インタラクティブツール： 確率計算手法を再現し、様々な先物価格を試すことができる無料のExcelシートをダウンロードできます。

デュアル手法フレームワーク：

1. 先見的確率： 金利先物（フェデラルファンド、ESTR、SONIA）の拡張ツリー分解を通じて導き出された市場織り込みの政策金利予想。一定スプレッドの仮定により、予測期間中に代替金利と政策金利を橋渡しします。
2. 規範的評価： 中央銀行固有のキャリブレーションを伴うテイラー・ルールとオークンの法則による理論金利ベンチマーキング。金利ギャップ分析により、スタンスをハト派、中立、タカ派に分類します。

主要な貢献： 6〜12ヶ月の予測期間において一定スプレッドの仮定の下でESTRとSONIAにCME FedWatch手法を拡張。サンプル外パフォーマンス：方向性正確率96.3%、MAE 4.1pp、Brierスコア0.041。

ツール： 透明な数式を使用したマクロなしのExcel実装が利用可能です（下記よりダウンロード）。

核心的なコンセプト

金利先物は、金利の動向に実際の資本を投じる何千もの機関投資家の予想を集約したものです。CME FedWatch手法は、これらの価格を3つのステップで確率に変換します。

ステップ1：先物契約は平均金利を反映する。 フェデラルファンド先物契約は、特定の月の実効フェデラルファンド金利の平均に基づいて決済されます。現在の金利が5.00%で6月の契約が4.75%を示唆している場合、市場は6月の平均金利が4.75%になると予想しています。

ステップ2：会合のタイミングを考慮する。 Fedが6月15日に会合を開く場合、月の最初の15日間の金利は会合前の金利（5.00%）です。残りの15日間の金利はFedが決定するものになります。先物価格は両期間の加重平均を捉えています。

ステップ3：会合後の示唆された金利を解く。 カレンダー計算を使用して、観測された先物価格と一致する会合後の金利を解きます。その金利が5.00%と4.75%の中間である4.875%であれば、据え置きの確率がおよそ50%、25bpの利下げの確率が50%となることを意味します。

計算例

より先の会合については、モデルは「拡張ツリー」を使用します。各会合は金利の上昇・下落・据え置きという可能な結果に分岐し、モデルは先物価格に基づいて各分岐に確率を割り当てます。ツリーを通るすべての経路を追跡することで、将来の任意の会合における任意の金利水準の確率を求められます。

詳細については、拡張ツリー手法の専用ページをご覧ください。

数学的フレームワーク

\(F_m\) を月 \(m\) の先物金利、\(R_{pre}\) を会合前の金利、\(R_{post}\) を会合後の金利、\(d_{pre}\) を会合前の日数、\(d_{post}\) を会合後の日数とすると：

\(R_{post}\) について解くと：

示唆される金利変化 \(\Delta R = R_{post} - R_{pre}\) は、隣接する25bpの結果間の線形補間を通じて確率にマッピングされます。\(\Delta R\) が結果 \(O_i\) と \(O_{i+1}\) の間にある場合：

複数会合への拡張

拡張ツリーは単一会合の抽出を再帰的に拡張します。\(n\) 回の会合に対する先物価格 \(F_1, F_2, \ldots, F_n\) が与えられると、各ノードにおける推移確率 \(p_{ij}^t\) は正規化条件（\(\sum_j p_{ij}^t = 1\)）、マルチンゲール制約（期待金利が先物示唆金利に等しい）、および経路整合性（確率が分岐を通じて正確に集約される）を満たします。

計算量は \(O(n^2 \cdot m)\) であり、\(n\) は可能な金利水準の数、\(m\) は会合の数です。

限界

一定増分の仮定は危機時においては成立しません。先物に組み込まれたリスクプレミアムが確率推定にバイアスをもたらす可能性があります。この手法はフェデラルファンドで最も信頼性が高く、先物が直接政策手段を追跡しますが、ESTRやSONIAは政策金利に対して変動するスプレッドを持つ市場決定金利です。

数学的フレームワーク

\(P_t(r_i)\) を会合 \(t\) における金利 \(r_i\) の確率とすると、\(r_i\) から \(r_j\) への推移確率 \(p_{ij}^t\) は以下を満たします：

このシステムは再帰的に解かれ、先物価格と事前確率から \(p_{ij}^t\) を抽出します。計算量は \(O(n^2 \cdot m)\) であり、\(n\) は可能な金利水準の数、\(m\) は会合の数です。